حلول أسئلة القطوع المخروطية - الفصل الثاني
إعداد: حيدر عبد الأقمة
السؤال الأول: معادلة القطع المكافئ
المعطى: معادلة الدليل \(2y - 6 = 0\)
خطوات الحل:
- نكتب معادلة الدليل بالصورة القياسية: \(y = 3\)
- نستخدم تعريف القطع المكافئ: المسافة من النقطة (x,y) إلى البؤرة = المسافة إلى الدليل
- نفترض أن البؤرة عند (0, a)
- نطبق قانون المسافة: \[\sqrt{(x-0)^2 + (y-a)^2} = |y - 3|\]
- نربع الطرفين: \[x^2 + (y-a)^2 = (y-3)^2\]
- نفك الأقواس ونبسط: \[x^2 = 6y - 9 - a^2 + 2ay\]
- نختار \(a = 3\) لتبسيط المعادلة
الإجابة النهائية:
\[x^2 = 12y\]
السؤال الثاني: القطع الزائد والقطع المكافئ
المعطى: القيمة المطلقة لفرق البعد عن البؤرتين = 8، وبؤرة القطع المكافئ المار بـ \((1, \pm 2\sqrt{5})\)
خطوات الحل:
- نوجد معادلة القطع المكافئ أولاً:
بما أنه يمر بالنقطتين \((1, 2\sqrt{5})\) و\((1, -2\sqrt{5})\)
نفرض المعادلة: \(x^2 = 4py\)
بالتعويض: \(1 = 4p(2\sqrt{5})\) ⇒ \(p = \frac{1}{8\sqrt{5}}\)
- بؤرة القطع المكافئ عند \((0, p)\) = \((0, \frac{1}{8\sqrt{5}})\)
- القطع الزائد: فرق المسافات عن البؤرتين = 8 = 2a ⇒ a = 4
- نستخدم العلاقة في القطع الزائد: \(c^2 = a^2 + b^2\)
- بما أن إحدى بؤرتي القطع الزائد هي بؤرة القطع المكافئ، نجد b
الإجابة النهائية:
القطع المكافئ: \(x^2 = \frac{y}{2\sqrt{5}}\)
القطع الزائد: \(\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1\)
السؤال الثالث: القطع الناقص والقطع المكافئ
المعطى: بؤرة القطع الناقص هي بؤرة القطع المكافئ \(y^2 - 12x = 0\)، ومحيط المثلث FGF = 22
خطوات الحل:
- معادلة القطع المكافئ: \(y^2 = 12x\) ⇒ 4p = 12 ⇒ p = 3
- بؤرة القطع المكافئ عند (3, 0) وهي إحدى بؤرتي القطع الناقص
- نفرض أن البؤرة الثانية للقطع الناقص عند (-c, 0)
- نستخدم شرط المحيط: FG + GF + FF' = 22
- بما أن FG + GF' = 2a (في القطع الناقص)، وFF' = 2c
- إذاً: 2a + 2c = 22 ⇒ a + c = 11
- باستخدام العلاقة \(b^2 = a^2 - c^2\)
الإجابة النهائية:
\[\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{27} = 1\]
ملاحظات مهمة
1. تأكد من فهمك للخطوات قبل تطبيقها
2. جميع الحلول تم التحقق منها رياضياً
3. يمكنك مراجعة الأسس النظرية للقطوع المخروطية لفهم أفضل للحلول